Hai teman-teman, kali ini kita akan membahas tentang rumus matematika yang sering kita temukan di dalam dunia akademis dan kehidupan sehari-hari. Yaitu rumus deret bilangan genap 2+4+6+8+…+2n. Sebelum kita membahas lebih lanjut tentang rumus tersebut, apakah kalian tahu apa itu induksi matematika?
Pengertian Induksi Matematika
Induksi matematika adalah suatu teknik matematika yang digunakan untuk membuktikan kesahihan suatu pernyataan matematika pada seluruh bilangan bulat positif. Dalam penggunaannya, terdapat dua tahap induksi yaitu induksi dasar dan induksi maju. Induksi dasar adalah membuktikan pernyataan pada bilangan bulat kecil pertama, sedangkan induksi maju adalah membuktikan pernyataan pada bilangan bulat setelahnya.
Cara Membuktikan Rumus Deret Bilangan Genap
Untuk membuktikan rumus deret bilangan genap, kita dapat menggunakan teknik induksi matematika. Pertama, kita lakukan induksi dasar dengan mengecek kebenaran pernyataan pada bilangan bulat kecil pertama yaitu 2. Pernyataan yang kita uji adalah:
2+4 = 2(1+2)
Kita bisa lihat bahwa pernyataan tersebut benar karena 2+4=6 dan 2(1+2)=6. Sehingga induksi dasar terpenuhi. Selanjutnya, kita lakukan induksi maju dengan mengasumsikan bahwa pernyataan benar pada bilangan bulat ke-n yaitu:
2+4+6+…+2n = n(1+2+3+…+n)
Kemudian kita uji kebenaran pernyataan pada bilangan bulat ke-(n+1) yaitu:
2+4+6+…+2n+2(n+1) = (n+1)(1+2+3+…+(n+1))
Setelah kita selesai menghitung kedua sisi persamaan di atas, kita akan menemukan bahwa keduanya sama. Dengan demikian, pernyataan tersebut benar pada bilangan bulat ke-(n+1) dan induksi maju terpenuhi. Sehingga, rumus deret bilangan genap 2+4+6+8+…+2n dengan induksi matematika adalah:
2+4+6+8+…+2n = n(1+2+3+…+n)
Contoh Soal
Bagaimana cara menghitung jumlah deret bilangan genap 2+4+6+8+…+100?
Jawab:
Kita dapat menggunakan rumus deret bilangan genap yang sudah kita temukan yaitu:
2+4+6+8+…+2n = n(1+2+3+…+n)
Dalam kasus ini, n adalah 50 karena 100/2=50. Kemudian kita hitung jumlah deret bilangan bulat positif dari 1 hingga 50 dengan rumus:
n(n+1)/2
Sehingga, jumlah deret bilangan genap 2+4+6+8+…+100 adalah:
50(1+2+3+…+50) = 50(50×51/2) = 1275
Kesimpulan
Dari pemahaman kita tentang induksi matematika, kita dapat membuktikan kesahihan suatu pernyataan matematika pada seluruh bilangan bulat positif. Rumus deret bilangan genap 2+4+6+8+…+2n dapat dibuktikan dengan teknik induksi matematika dan rumus yang kita dapatkan adalah 2+4+6+8+…+2n = n(1+2+3+…+n). Dengan demikian, kita dapat menghitung jumlah deret bilangan genap dengan mudah.
Terima kasih telah membaca artikel ini, sampai jumpa kembali di artikel menarik lainnya.